2013학년도 9월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 B형 16번

다음은 $2$ 이상의 모든 자연수 $n$에 대하여

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

<증명>

(i) $n=2$일 때,

(좌변)$=\boxed{\text{(가)}}$이고 (우변)$=\frac{11}8$이므로

$(\bigstar)$이 성립한다.

(ii) $n=m$ $(m\ge2)$일 때, $(\bigstar)$이 성립한다고 가정하면

$\sum\limits_{k=1}^m\frac1{k^3}<\frac12\left(3-\frac1{m^2}\right)$이다.

$n=m+1$일 때,

$$\sum\limits_{k=1}^{m+1}\frac1{k^3}=\sum\limits_{k=1}^m\frac1{k^3}+\boxed{\text{(나)}}<\frac12\left(3-\frac1{m^2}\right)+\boxed{\text{(나)}}$$

한편,

$$\frac12\left\{3-\frac1{(m+1)^2}\right\}-\left\{\frac12\left(3-\frac1{m^2}\right)+\boxed{\text{(나)}}\right\}$$

$$=\frac{\boxed{\text{(다)}}}{2m^2(m+1)^3}>0$$

이므로

$\sum\limits_{k=1}^{m+1}\frac1{k^3}<\frac12\left\{3-\frac1{(m+1)^2}\right\}$

이 성립한다.

따라서 $n=m+1$일 때도 $(\bigstar)$이 성립한다.

그러므로 $2$ 이상의 모든 자연수 $n$에 대하여 $(\bigstar)$이 성립한다.

위의 (가)에 알맞은 수를 $a$, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 $f(m)$, $g(m)$이라 할 때, $\frac{g(a)}{f(1)}$의 값은? [4점]