난무하는 관계 속에서

상수 $a\left(a>1\right)$와 $t\left(0<t<1\right)$에 대하여 함수 $f\left(x\right)$는

이고, 곡선 $y=f\left(x\right)$ 위의 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{A}$를 지나고 $y$축에 평행한 직선이 직선 $y=1$과 만나는 점을 $\mathrm{B}$, $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{C}$, 곡선 $y=f\left(x\right)$와 직선 $y=t$가 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$라 하자. $\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{OC}}=\overline{\mathrm{PQ}}$이고 삼각형 $\mathrm{COP}$의 넓이가 $1$일 때, 선분 $\mathrm{OB}$의 길이는? (단, $\mathrm{O}$는 원점이고, $\mathrm{A}$의 $y$좌표는 $1$이 아니다.) [4점]