파란띠 4수능형

익숙한 극한 처리 2

삼차함수 $f\left(x\right)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

방정식 $f'\left(x\right)=x$ 의 두 실근 $\alpha,\,\beta$ 에 대하여

\begin{aligned}\lim_{\scriptstyle x\to\alpha}\dfrac{f\left(f'\left(x\right)\right)}{f\left(x\right)}&=\lim_{\scriptstyle x\to\beta}\dfrac{f\left(f'\left(x\right)\right)}{f\left(x\right)}\\&=\lim_{\scriptstyle x\to\beta}f\left(x+1\right)f'\left(x\right)=4\end{aligned}

이다.

위 조건을 만족시키는 삼차함수 $f\left(x\right)$ 에 대하여 $\vphantom{\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\displaystyle\left|\int_{\scriptstyle \alpha}^{\raisebox{-0.17em}{$\scriptstyle \beta$}}f\left(x\right)\,dx\right|$ 가 가질 수 있는 모든 값의 합을 $\vphantom{\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\dfrac{p}{q}$ 라 할 때, $p+q$ 의 값을 구하시오.