2007학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 17번

반지름의 길이가 $1$인 원 $C$가 있다.

원 $C$를 사분원으로 나누어 한 사분원에 내접하는 원을 $C_1$,

원 $C_1$을 사분원으로 나누어 한 사분원에 내접하는 원을 $C_2$,

원 $C_2$를 사분원으로 나누어 한 사분원에 내접하는 원을 $C_3$,

이와 같은 과정을 계속하여 얻어진 원 $C_n$의 반지름의 길이를 $r_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n r_k$의 값은? [4점]