2023학년도 9월 고1 전국연합학력평가 수학 영역 28번

그림과 같이 $2<a<4$인 실수 $a$에 대하여 두 함수 $f(x)=ax^2$, $g(x)=-a(x-a)^2+a^2$의 그래프가 있다. 직선 $y=4a$와 함수 $y=f(x)$의 그래프가 만나는 점을 각각 $\mathrm A$, $\mathrm B$라 하고, 직선 $y=ax$와 함수 $y=g(x)$의 그래프가 만나는 점을 각각 $\mathrm C$, $\mathrm D$라 하자. 사각형 $\mathrm{ACDB}$의 넓이의 최댓값을 $M$이라 할 때, $8\times M$의 값을 구하시오. (단, 점 $\mathrm A$의 $x$좌표는 점 $\mathrm B$의 $x$좌표보다 작고, 점 $\mathrm C$의 $x$좌표는 점 $\mathrm D$의 $x$좌표보다 작다.) [4점]