2012학년도 11월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 A형 16번

모든 자연수 $n$에 대하여 $(n+1)a_{n+2}-5a_{n+1}=na_{n+1}-5a_n$이다.

$n\ge2$에 대하여 $na_{n+1}-5a_n=(n-1)a_n-5a_{n-1}$이고,

$a_1=1$, $a_2=5$이므로 $a_{n+1}=\boxed{\text{(가)}}a_n$ ($n\ge1$) $\cdots$㉠이다.

㉠의 $n$에 $1$, $2$, $3$, $\cdots$, $n-1$을 차례로 대입하여 얻어진 $(n-1)$개의 등식을 변끼리 곱하여 정리하면,

$a_n=\frac{5^{n-1}}{\boxed{\text{(나)}}}$ ($n\ge2$)이고, $a_1=1$이므로

수열 $\{a_n\}$의 일반항은 $a_n=\frac{5^{n-1}}{\boxed{\text{(나)}}}$이다.