2023학년도 대학수학능력시험 수학 영역 미적분 28번

그림과 같이 중심이 $\mathrm{O}$이고 길이가 $2$인 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 반원 위에 $\angle \mathrm{AOC}=\dfrac{\pi}{2}$인 점 $\mathrm{C}$가 있다.
호 $\mathrm{BC}$ 위에 점 $\mathrm{P}$와 호 $\mathrm{CA}$ 위에 점 $\mathrm{Q}$를 $\overline{\mathrm{PB}}=\overline{\mathrm{QC}}$가 되도록 잡고, 선분 $\mathrm{AP}$ 위에 점 $\mathrm{R}$를 $\angle \mathrm{CQR}=\dfrac{\pi}{2}$가 되도록 잡는다.
선분 $\mathrm{AP}$와 선분 $\mathrm{CO}$의 교점을 $\mathrm{S}$라 하자. $\angle \mathrm{PAB}=\theta$일 때, 삼각형 $\mathrm{POB}$의 넓이를 $f\left(\theta\right)$, 사각형 $\mathrm{CQRS}$의 넓이를 $g\left(\theta\right)$라 하자. $\displaystyle\lim_{\theta\to0+}\dfrac{3f\left(\theta\right)-2g\left(\theta\right)}{\theta^2}$의 값은? (단, $0<\theta<\dfrac{\pi}{4}$) [4점]