2025학년도 10월 고1 전국연합학력평가 수학 영역 29번

그림과 같이 정사각형 $ABCD$를 밑면으로 하는 직육면체 $ABCD-EFGH$가 있다. 선분 $AD$ 위의 점 $P$와 선분 $BC$ 위의 점 $Q$를 $\overline{AP}=\overline{BQ}=\overline{BF}$가 되도록 잡고, 점 $P$에서 선분 $EH$에 내린 수선의 발을 $R$, 점 $Q$에서 선분 $FG$에 내린 수선의 발을 $S$라 하자. 직육면체 $ABCD-EFGH$의 부피를 $V_1$, 직육면체 $ABQP-EFSR$의 부피를 $V_2$라 하자.

일 때, $(\overline{AB}+\overline{BF})^3=\frac qp$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $\overline{AB}>\overline{BF}$이고, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]