2013학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 B형 29번

그림과 같이 한 변의 길이가 $1$인 정사각형 $\mathrm{ABCD}$가 있다.

$2$이상의 자연수 $n$에 대하여 변 $\mathrm{BC}$를 $n$등분한 각 분점을 점 $\mathrm B$에서 가까운 것부터 차례로 $\mathrm P_1$, $\mathrm P_2$, $\mathrm P_3$, $\cdots$, $\mathrm P_{n-1}$이라 하고, 변 $\mathrm{CD}$를 $n$등분한 각 분점을 점 $\mathrm C$에서 가까운 것부터 차례로 $\mathrm Q_1$, $\mathrm Q_2$, $\mathrm Q_3$, $\cdots$, $\mathrm Q_{n-1}$이라 하자. $1\le k\le n-1$인 자연수 $k$에 대하여 사각형 $\mathrm A\mathrm P_k\mathrm Q_k\mathrm D$의 넓이를 $S_k$라 하자.

$\lim\limits_{n\to\infty}\frac1n\sum\limits_{k=1}^{n-1}S_k=\alpha$일 때, $150\alpha$의 값을 구하시오. [4점]