실수 a a a a > 1 a>1 a > 1 n n n x = n x=n x = n
y = 3 a x , y = 3 a x − 1 y=3a^x,\quad y=3a^{x-1} y = 3 a x , y = 3 a x − 1 의 그래프와 만나는 점을 각각 P n \mathrm P_n P n Q n \mathrm Q_n Q n P n Q n \mathrm P_n\mathrm Q_n P n Q n l n l_n l n P n Q n Q n + 2 P n + 2 \mathrm P_n\mathrm Q_n\mathrm Q_{n+2}\mathrm P_{n+2} P n Q n Q n + 2 P n + 2 S n S_n S n L L L S S S ∑ k = 1 20 l k = L \displaystyle\sum_{k=1}^{20}l_k=L k = 1 ∑ 20 l k = L ∑ k = 1 5 S 4 k − 3 = S \displaystyle\sum_{k=1}^5S_{4k-3}=S k = 1 ∑ 5 S 4 k − 3 = S S L = 2 5 \frac SL=\frac25 L S = 5 2 a a a
두 점 P n \mathrm P_n P n Q n \mathrm Q_n Q n ( n , 3 a n ) (n,3a^n) ( n , 3 a n ) ( n , 3 a n − 1 ) (n,3a^{n-1}) ( n , 3 a n − 1 )
선분 P n Q n \mathrm P_n\mathrm Q_n P n Q n l n l_n l n
l n = 3 ( a − 1 ) × a n − 1 l_n=3(a-1)\times a^{n-1} l n = 3 ( a − 1 ) × a n − 1 이므로
L = ∑ k = 1 20 l k = 3 × ( (가) ) L=\sum_{k=1}^{20}l_k=3\times\left(\boxed{\text{(가)}}\right) L = k = 1 ∑ 20 l k = 3 × ( ( 가 ) ) 이다. 사다리꼴 P n Q n Q n + 2 P n + 2 \mathrm P_n\mathrm Q_n\mathrm Q_{n+2}\mathrm P_{n+2} P n Q n Q n + 2 P n + 2 S n S_n S n
S n = 3 ( a − 1 ) × ( a n − 1 + a n + 1 ) S_n=3(a-1)\times(a^{n-1}+a^{n+1}) S n = 3 ( a − 1 ) × ( a n − 1 + a n + 1 ) 이므로
S = ∑ k = 1 5 S 4 k − 3 = S 1 + S 5 + S 9 + S 13 + S 17 = 3 (나) × ( (가) ) \begin{aligned}S&=\sum_{k=1}^5S_{4k-3}\\&=S_1+S_5+S_9+S_{13}+S_{17}\\&=\frac3{\boxed{\text{(나)}}}\times\left(\boxed{\text{(가)}}\right)\end{aligned} S = k = 1 ∑ 5 S 4 k − 3 = S 1 + S 5 + S 9 + S 13 + S 17 = ( 나 ) 3 × ( ( 가 ) ) 이다. 따라서
S L = 3 (나) × ( (가) ) 3 × ( (가) ) = 1 (나) = 2 5 \frac SL=\frac{\frac3{\boxed{\text{(나)}}}\times\left(\boxed{\text{(가)}}\right)}{3\times\left(\boxed{\text{(가)}}\right)}=\frac1{\boxed{\text{(나)}}}=\frac25 L S = 3 × ( ( 가 ) ) ( 나 ) 3 × ( ( 가 ) ) = ( 나 ) 1 = 5 2 이므로 a = (다) a=\boxed{\text{(다)}} a = ( 다 )
위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f ( a ) f(a) f ( a ) g ( a ) g(a) g ( a ) p p p f ( 2 ) g ( 20 p ) \frac{f(\sqrt2)}{g(20p)} g ( 20 p ) f ( 2 ) [4점]
