2017학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 29번

그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}}=4$, $\overline{\mathrm{BC}}=3$, $\angle\mathrm B=90^\circ$인 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 변 $\mathrm{AB}$ 위를 움직이는 점 $\mathrm P$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $2$인 원 $O$가 있다. $\overline{\mathrm{AP}}=x$ $(0<x<4)$라 할 때, 원 $O$가 삼각형 $\mathrm{ABC}$와 만나는 서로 다른 점의 개수를 $f(x)$라 하자. 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 불연속이 되는 모든 실수 $a$의 값의 합은 $\dfrac qp$이다. $p+q$의 값을 구하시오.

(단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]