밤띠 1기출문제

2021학년도 9월 모의평가 수학 영역 가형 16번

모든 자연수 $n$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 $x$ 축 위의 점 $\mathrm P_n$ 과 곡선 $y=\sqrt{3x}$ 위의 점 $\mathrm Q_n$ 이 있다.

• 선분 $\mathrm{OP}_n$ 과 선분 $\mathrm P_n\mathrm Q_n$ 이 서로 수직이다.

• 선분 $\mathrm{OQ}_n$ 과 선분 $\mathrm Q_n\mathrm P_{n+1}$ 이 서로 수직이다.

다음은 점 $\mathrm P_1$ 의 좌표가 $(1,0)$ 일 때, 삼각형 $\mathrm{OP}_{n+1}\mathrm Q_n$ 의 넓이 $A_n$ 을 구하는 과정이다. (단, $\mathrm O$ 는 원점이다.)

모든 자연수 $n$ 에 대하여 점 $\mathrm P_n$ 의 좌표를 $(a_n,0)$ 이라 하자.

$\overline{\mathrm{OP}_{n+1}}=\overline{\mathrm{OP}_n}+\overline{\mathrm P_n\mathrm P_{n+1}}$ 이므로

a_{n+1}=a_n+\overline{\mathrm P_n\mathrm P_{n+1}}

이다. 삼각형 $\mathrm{OP}_n\mathrm Q_n$ 과 삼각형 $\mathrm Q_n\mathrm P_n\mathrm P_{n+1}$ 이 닮음이므로

\overline{\mathrm{OP}_n}:\overline{\mathrm P_n\mathrm Q_n}=\overline{\mathrm P_n\mathrm Q_n}:\overline{\mathrm P_n\mathrm P_{n+1}}

이고, 점 $\mathrm Q_n$ 의 좌표는 $\left(a_n,\sqrt{3a_n}\right)$ 이므로

\overline{\mathrm P_n\mathrm P_{n+1}}=\boxed{\text{(\char44032 )}}

이다. 따라서 삼각형 $\mathrm{OP}_{n+1}\mathrm Q_n$ 의 넓이 $A_n$ 은

A_n=\frac12\times\left(\boxed{\text{(\char45208 )}}\right)\times\sqrt{9n-6}

이다.

위의 (가)에 알맞은 수를 $p$ , (나)에 알맞은 식을 $f(n)$ 이라 할 때, $p+f(8)$ 의 값은? [4점]

정답률 –풀이 수 –정답 시 +16 Rating

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