사인 곡선과 한 점에서 만나는 원의 반지름

실수 $t>1$에 대하여, 점 $\left(0,\,t\right)$를 중심으로 하고 곡선 $y=\sin x$와 한 점에서 만나는 원의 반지름을 $g\left(t\right)$라 하자. $t=a$일 때, 이 원과 곡선의 교점에서 곡선 $y=\sin x$의 접선의 기울기가 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$이다. 다음 극한값은?