2015학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 B형 18번

그림과 같이 중심각의 크기가 $\frac\pi3$이고 반지름의 길이가 $6$인 부채꼴 $OAB$가 있다.

부채꼴 $OAB$에 내접하는 원 $O_1$이 두 선분 $OA$, $OB$, 호 $AB$와 만나는 점을 각각 $A_1$, $B_1$, $C_1$이라 하고, 부채꼴 $OA_1B_1$의 외부와 삼각형 $A_1C_1B_1$의 내부의 공통부분의 넓이를 $S_1$이라 하자.

부채꼴 $OA_1B_1$에 내접하는 원 $O_2$가 두 선분 $OA_1$, $OB_1$, 호 $A_1B_1$과 만나는 점을 각각 $A_2$, $B_2$, $C_2$라 하고, 부채꼴 $OA_2B_2$의 외부와 삼각형 $A_2C_2B_2$의 내부의 공통부분의 넓이를 $S_2$라 하자.

위와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 부채꼴 $OA_nB_n$의 외부와 삼각형 $A_nC_nB_n$의 내부의 공통부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}S_n$의 값은? [4점]