2012학년도 11월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 B형 20번

그림과 같이 중심이 $O$이고 반지름의 길이가 $2$인 원 $O_1$의 $6$등분점을 각각 $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$, $E_1$, $F_1$이라 하자.

중심각의 크기가 $60^\circ$인 부채꼴 $OA_1B_1$의 호 $A_1B_1$의 이등분점을 $P_1$이라 하고, 선분 $OA_1$ 위에 $\angle OP_1A_2=45^\circ$가 되도록 점 $A_2$를 정한다. 중심이 $O$이고 선분 $OA_2$를 반지름으로 하는 원 $O_2$가 $5$개의 선분 $OB_1$, $OC_1$, $OD_1$, $OE_1$, $OF_1$과 만나는 점을 각각 $B_2$, $C_2$, $D_2$, $E_2$, $F_2$라 하고, 원 $O_2$의 외부에 정육각형 $A_2B_2C_2D_2E_2F_2$의 각 변을 지름으로 하는 $6$개의 반원을 그리고, 이 $6$개의 반원의 호의 길이의 합을 $l_1$이라 하자.

중심각의 크기가 $60^\circ$인 부채꼴 $OA_2B_2$의 호 $A_2B_2$의 이등분점을 $P_2$라 하고, 선분 $OA_2$ 위에 $\angle OP_2A_3=45^\circ$가 되도록 점 $A_3$를 정한다. 중심이 $O$이고 선분 $OA_3$를 반지름으로 하는 원 $O_3$이 $5$개의 선분 $OB_2$, $OC_2$, $OD_2$, $OE_2$, $OF_2$와 만나는 점을 각각 $B_3$, $C_3$, $D_3$, $E_3$, $F_3$이라 하고, 원 $O_3$의 외부에 정육각형 $A_3B_3C_3D_3E_3F_3$의 각 변을 지름으로 하는 $6$개의 반원을 그리고, 이 $6$개의 반원의 호의 길이의 합을 $l_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 $6$개의 반원의 호의 길이의 합을 $l_n$이라 할 때, $\sum_{n=1}^{\infty}l_n$의 값은? [4점]