밤띠 3기출문제

2019학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 18번

자연수 $n$ 에 대하여 원점을 지나는 직선과 곡선 $y=-\left(x-n\right)\left(x-n-2\right)$ 가 제 $1$ 사분면에서 접할 때, 접점의 $x$ 좌표를 $a_n$ , 직선의 기울기를 $b_n$ 이라 하자. 다음은 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_nb_n$ 의 값을 구하는 과정이다.

원점을 지나고 기울기가 $b_n$ 인 직선의 방정식은 $y=b_nx$ 이다. 이 직선이 곡선 $y=-\left(x-n\right)\left(x-n-2\right)$ 에 접하므로 이차방정식 $b_nx=-\left(x-n\right)\left(x-n-2\right)$ 의 근 $x=a_n$ 은 중근이다. 그러므로 이차방정식

x^2+\left\{b_n-2\left(n+1\right)\right\}x+n\left(n+2\right)=0

에서 이차식

x^2+\left\{b_n-2\left(n+1\right)\right\}x+n\left(n+2\right)

는 완전제곱식으로 나타내어진다. 그런데 $a_n>0$ 이므로

x^2+\left\{b_n-2\left(n+1\right)\right\}x+n\left(n+2\right)=\left\{x-\sqrt{n\left(n+2\right)}\right\}^2

에서

a_n=\boxed{\left(\text{가}\right)},\,\quad b_n=\boxed{\left(\text{나}\right)}

이다. 따라서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_nb_n=\boxed{\left(\text{다}\right)}$ 이다.

위의 (가)와 (나)에 알맞은 식을 각각 $f\left(n\right)$ , $g\left(n\right)$ 이라 하고, (다)에 알맞은 값을 $\alpha$ 라 할 때, $2f\left(\alpha\right)+g\left(\alpha\right)$ 의 값은? [4점]