자연수 n에 대하여 원점을 지나는 직선과
곡선 y=−(x−n)(x−n−2)가 제1사분면에서 접할 때,
접점의 x좌표를 an, 직선의 기울기를 bn이라 하자.
다음은 limn→∞anbn의 값을 구하는 과정이다.
원점을 지나고 기울기가 bn인 직선의 방정식은 y=bnx이다.
이 직선이 곡선 y=−(x−n)(x−n−2)에 접하므로
이차방정식 bnx=−(x−n)(x−n−2)의 근 x=an은
중근이다.
그러므로 이차방정식
x2+{bn−2(n+1)}x+n(n+2)=0 에서 이차식
x2+{bn−2(n+1)}x+n(n+2) 는 완전제곱식으로 나타내어진다.
그런데 an>0이므로
x2+{bn−2(n+1)}x+n(n+2)={x−n(n+2)}2 에서
an=(가),bn=(나) 이다.
따라서 limn→∞anbn=(다)이다.
위의 (가)와 (나)에 알맞은 식을 각각 f(n), g(n)이라 하고,
(다)에 알맞은 값을 α라 할 때, 2f(α)+g(α)의 값은? [4점]
