2012학년도 6월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 A형 14번

모든 성분이 실수인 이차정사각행렬을 원소로 갖는 두 집합 $S$, $T$가

일 때, 다음은 $S=T$임을 증명한 것이다. (단, $O$는 영행렬이다.)

<증명>

$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$를 $T$의 원소라 하면 어떤 자연수 $n$에 대하여

$A^n=O$ $\cdots$ ($*$)

이다.

(i) $n\le2$일 때, $A\in S$이다.

(ii) $n\ge3$일 때, $A$가 역행렬을 갖는다고 하자.

($*$)의 양변에 $(A^{-1})^{n-1}$을 곱하면 $A=O$

이것은 모순이므로 $\boxed{\text{(가)}}$이다.

이때, $A^2=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}a^2+bc&ab+bd\\ac+cd&bc+d^2\end{pmatrix}$

$=(a+d)\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$

$=(a+d)A$

그러므로 $A^n=\boxed{\text{(나)}}A$이고 $A^n=O$에서 $a+d=0$이다.

따라서 $A^2=O$이므로 $A\in S$이다.

$\therefore T\subset S$

한편, $S$의 원소는 모두 $T$의 원소이므로 $S\subset T$이다.

$\therefore S=T$

위의 증명에서 (가), (나)에 알맞은 것을 차례로 나열한 것은? [3점]