2023학년도 사관학교 1차 선발시험 수학 영역 미적분 29번

그림과 같이 반지름의 길이가 $5$이고 중심각의 크기가 $\frac\pi2$인 부채꼴 $\mathrm{OAB}$에서 선분 $\mathrm{OB}$를 $2:3$으로 내분하는 점을 $\mathrm C$라 하자. 점 $\mathrm P$에서 호 $\mathrm{AB}$에 접하는 직선과 직선 $\mathrm{OB}$의 교점을 $\mathrm Q$라 하고, 점 $\mathrm C$에서 선분 $\mathrm{PB}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm R$, 점 $\mathrm R$에서 선분 $\mathrm{PQ}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm S$라 하자. $\angle\mathrm{POB}=\theta$일 때, 삼각형 $\mathrm{OCP}$의 넓이를 $f(\theta)$, 삼각형 $\mathrm{PRS}$의 넓이를 $g(\theta)$라 하자.

의 값을 구하시오. (단, $0<\theta<\frac\pi2$) [4점]