2023학년도 사관학교 1차 선발시험 수학 영역 미적분 29번

그림과 같이 반지름의 길이가 $5$이고 중심각의 크기가 $\dfrac\pi2$인 부채꼴 $\mathrm{OAB}$에서 선분 $\mathrm{OB}$를 $2:3$으로 내분하는 점을 $\mathrm{C}$라 하자. 점 $\mathrm{P}$에서 호 $\mathrm{AB}$에 접하는 직선과 직선 $\mathrm{OB}$의 교점을 $\mathrm{Q}$라 하고, 점 $\mathrm{C}$에서 선분 $\mathrm{PB}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{R}$, 점 $\mathrm{R}$에서 선분 $\mathrm{PQ}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{S}$라 하자. $\angle\mathrm{POB}=\theta$일 때, 삼각형 $\mathrm{OCP}$의 넓이를 $f\left(\theta\right)$, 삼각형 $\mathrm{PRS}$의 넓이를 $g\left(\theta\right)$라 하자. $\displaystyle 80\times\lim_{\theta\to0+}\dfrac{g\left(\theta\right)}{\theta^2\times f\left(\theta\right)}$의 값을 구하시오. (단, $0<\theta<\dfrac\pi2$) [4점]