파란띠 2기출문제

2021학년도 9월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 16번

수열 $\{a_n\}$ 을 $a_n=\sum_{k=1}^n\frac1k$ 이라 할 때, 다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 등식

a_1+2a_2+3a_3+\cdots+na_n=\frac{n(n+1)}4(2a_{n+1}-1)\quad\cdots\;(\bigstar)

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(ⅰ) $n=1$ 일 때,

$(좌변)=a_1$ , $(우변)=a_2-\boxed{\text{(가)}}=1=a_1$

이므로 $(\bigstar)$ 이 성립한다.

(ⅱ) $n=m$ 일 때, $(\bigstar)$ 이 성립한다고 가정하면

a_1+2a_2+3a_3+\cdots+ma_m=\frac{m(m+1)}4(2a_{m+1}-1)

이다. $n=m+1$ 일 때, $(\bigstar)$ 이 성립함을 보이자.

a_1+2a_2+3a_3+\cdots+ma_m+(m+1)a_{m+1}

=\frac{m(m+1)}4(2a_{m+1}-1)+(m+1)a_{m+1}

=(m+1)a_{m+1}\left(\boxed{\text{(나)}}+1\right)-\frac{m(m+1)}4

=\frac{(m+1)(m+2)}2\left(a_{m+2}-\boxed{\text{(다)}}\right)-\frac{m(m+1)}4

=\frac{(m+1)(m+2)}4(2a_{m+2}-1)

따라서 $n=m+1$ 일 때도 $(\bigstar)$ 이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 $n$ 에 대하여

a_1+2a_2+3a_3+\cdots+na_n=\frac{n(n+1)}4(2a_{n+1}-1)

이 성립한다.

위의 (가)에 알맞은 수를 $p$ , (나), (다)에 알맞은 식을 각각 $f(m)$ , $g(m)$ 이라 할 때, $p+\frac{f(5)}{g(3)}$ 의 값은? [4점]

정답률 –풀이 수 –정답 시 +12 Rating

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