2020학년도 11월 고1 전국연합학력평가 수학 영역 17번

좌표평면 위에 원 $C:x^2+y^2=r^2(r>0)$과 직선 $l:2x-2y+\sqrt6r=0$이 있다. 원 $C$와 직선 $l$이 만나는 두 점을 각각 A, B라 할 때, 호 AB와 선분 AB로 둘러싸인 부분 중에서 원점 O를 포함하지 않는 부분의 넓이를 $S(r)$라 하자. 다음은 $S(r)$를 구하는 과정이다.

점 O에서 직선 $l$에 내린 수선의 발을 H라 하면 선분 OH의 길이는 점 O와 직선 $l$ 사이의 거리이므로

$$\overline{\mathrm{OH}}=\boxed{\text{(가)}}$$

삼각형 OAB에서 $\overline{\mathrm{OA}}=r$이므로 삼각형 OAB의 넓이는 $\boxed{\text{(나)}}$이다.

$S(r)$는 부채꼴 OAB의 넓이와 삼각형 OAB의 넓이의 차이므로

$$S(r)=\pi r^2\times\left(\boxed{\text{(다)}}\right)-\boxed{\text{(나)}}$$

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f(r)$, $g(r)$라 하고, (다)에 알맞은 수를 $k$라 할 때, $f\left(\frac1k\right)\times g\left(\frac1k\right)$의 값은? [4점]