2018학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 18번

$(1+x)^{2n}$의 전개식에서 $x^n$의 계수는 $\boxed{\text{(가)}}$이다.

$(1+x)^n(1+x)^n$의 전개식에서 $x^n$의 계수는

$\displaystyle\sum_{k=0}^n({}_n\mathrm C_k\times{}_n\mathrm C_{n-k})=\sum_{k=0}^n({}_n\mathrm C_k)^2$

이다. 그러므로

$\displaystyle\sum_{k=1}^n\{2k\times({}_n\mathrm C_k)^2\}$

$\displaystyle=\sum_{k=1}^n\{k\times({}_n\mathrm C_k)^2\}+\sum_{k=1}^n\{k\times({}_n\mathrm C_{n-k})^2\}$

$=\{({}_n\mathrm C_1)^2+2\times({}_n\mathrm C_2)^2+\cdots+n\times({}_n\mathrm C_n)^2\}$

$\quad+\{({}_n\mathrm C_{n-1})^2+2\times({}_n\mathrm C_{n-2})^2+\cdots+n\times({}_n\mathrm C_0)^2\}$

$=\boxed{\text{(나)}}\times\{({}_n\mathrm C_0)^2+({}_n\mathrm C_1)^2+\cdots+({}_n\mathrm C_n)^2\}$

$=\boxed{\text{(나)}}\times\boxed{\text{(가)}}$

이다.

따라서 부등식 $\displaystyle\sum_{k=1}^n\{2k\times({}_n\mathrm C_k)^2\}\ge10\times{}_{2n}\mathrm C_{n+1}$을 만족시키는 자연수 $n$의 최솟값은 $\boxed{\text{(다)}}$이다.