2017학년도 6월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 가형 20번

그림과 같이 한 변의 길이가 $4$인 정사각형 $ABCD$의 내부에 지름의 양 끝점이 각각 변 $BC$, 변 $CD$ 위에 있고, 지름이 선분 $BD$와 평행한 반원을 내접하게 그린다. 이 반원의 중심을 $O_1$이라 하고 반원이 두 변 $AB$, $AD$와 만나는 점을 각각 $P_1$, $Q_1$이라 하자. 중심이 $A$, 반지름이 선분 $AP_1$, 중심각이 $\angle P_1AQ_1$인 부채꼴의 내부와 이 반원의 내부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에 있는 점 $O_1$에서 두 변 $BC$, $CD$ 위에 내린 수선의 발을 각각 $B_1$, $D_1$이라 하고 네 점 $O_1$, $B_1$, $C$, $D_1$을 꼭짓점으로 하는 정사각형 $O_1B_1CD_1$을 그린다. 정사각형 $O_1B_1CD_1$에 그림 $R_1$을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim\limits_{n\to\infty}S_n=(p\sqrt2-q)(\pi-2)$이다.

두 유리수 $p$, $q$에 대하여 $p+q$의 값은? [4점]