2018학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 30번

함수 $f(x)=e^x(ax^3+bx^2)$과 양의 실수 $t$에 대하여 닫힌 구간 $[-t,t]$에서 함수 $f(x)$의 최댓값을 $M(t)$, 최솟값을 $m(t)$라 할 때, 두 함수 $M(t)$, $m(t)$는 다음 조건을 만족시킨다.

$f(k+1)=\dfrac qp e^{k+1}$일 때, $p+q$의 값을 구하시오.

(단, $a$와 $b$는 $0$이 아닌 상수, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이고,

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{e^x}=0$이다.) [4점]