2012학년도 사관학교 1차 선발시험 수학 영역 공통 22번

$0<a<\dfrac12$일 때, 곡선 $y=x^2$ 위의 임의의 점 $\mathrm P(a,a^2)$에서 그은 접선 $l$이 $x$축 위의 점 $\mathrm A$에서 만난다. 접선 $l$을 $x$축에 대하여 대칭이동시킨 직선을 $m$이라 하고, 직선 $m$이 $y$축과 만나는 점을 $\mathrm B$라 하자. 또, 점 $\mathrm A$를 지나고 접선 $l$에 수직인 직선을 $n$이라 할 때, 직선 $n$이 $y$축과 만나는 점을 $\mathrm C$라 하자. 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이를 $S(a)$라 할 때, $S(a)$의 극댓값은? [4점]