2022학년도 7월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 기하 28번

그림과 같이 $\mathrm{F}\left(6,\,0\right),\,\mathrm{F}'\left(-6,\,0\right)$을 두 초점으로 하는 타원 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$이 있다. 점 $\mathrm{A}\left(\dfrac{3}{2},\,0\right)$에 대하여 $\angle \mathrm{FPA}=\angle \mathrm{F}'\mathrm{PA}$를 만족시키는 타원의 제1사분면 위의 점을 $\mathrm{P}$라 할 때, 점 $\mathrm{F}$에서 직선 $\mathrm{AP}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{B}$라 하자. $\overline{\mathrm{OB}}=\sqrt{3}$일 때, $a\times b$의 값은?
(단, $a>0,\,b>0$이고 $\mathrm{O}$는 원점이다.) [4점]