도함수로 정의한 수열의 부분합

모든 자연수 $n$에 대하여 $f(n)$이 자연수인 다항함수 $f(x)$가 있다. 수열 $\{a_n\}$을 $a_n=f'(n)$으로 정의할 때, 다음이 성립한다.

수열 $\{b_n\}$을

으로 정의할 때, 부등식 $b_n\le7$을 만족시키는 자연수 $n$의 값은 서로 다른 두 자연수 $p$, $q$이다. 가능한 모든 $b_p$의 값의 집합을 $A$, 가능한 모든 $f(p)$의 값의 집합을 $B$라 하자. 집합 $A\cup B$의 모든 원소의 합을 구하시오.