2019학년도 6월 고1 전국연합학력평가 수학 영역 19번

(1) $a=1$인 경우

주어진 방정식은 $(x^2+x+1)^2=0$이다.

이 때, 방정식 $x^2+x+1=0$의 근은

$x=\frac{-1\pm\sqrt{\boxed{\text{(가)}}}\,i}2$ (단, $i=\sqrt{-1}$)이므로

방정식 $(x^2+x+1)^2=0$의 서로 다른 허근의 개수는 $2$이다.

(2) $a\ne1$인 경우

방정식 $x^2+ax+a=0$의 근은 $x=\frac{-a\pm\sqrt{\boxed{\text{(나)}}}}2$이다.

(ⅰ) $\boxed{\text{(나)}}<0$일 때, 방정식 $x^2+x+a=0$은 실근을 가져야 하므로 실수 $a$의 값의 범위는

이다.

(ⅱ) $\boxed{\text{(나)}}\ge0$일 때, 방정식 $x^2+x+a=0$은 허근을 가져야 하므로 실수 $a$의 값의 범위는

이다.

따라서 (1)과 (2)에 의하여

방정식 $(x^2+ax+a)(x^2+x+a)=0$의 근 중 서로 다른 허근의 개수가 $2$이기 위한 실수 $a$의 값의 범위는

$0<a\le\frac14$ 또는 $a=1$ 또는 $a\ge\boxed{\text{(다)}}$

이다.