2018학년도 6월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 가형 19번

그림과 같이 한 변의 길이가 4인 정육각형 $\mathrm{A_1B_1C_1D_1E_1F_1}$이 있다. 선분 $\mathrm{A_1C_1}$과 선분 $\mathrm{B_1F_1}$의 교점을 $\mathrm{G_1}$, 선분 $\mathrm{C_1E_1}$과 선분 $\mathrm{D_1F_1}$의 교점을 $\mathrm{H_1}$이라 하고, 선분 $\mathrm{B_1F_1}$과 선분 $\mathrm{A_1C_1}$의 중점을 각각 $\mathrm{A_2}$, $\mathrm{B_2}$라 하자. 사각형 $\mathrm{F_1G_1C_1H_1}$의 내부에 선분 $\mathrm{A_2B_2}$를 한 변으로 하는 정육각형을 그리고, 이 정육각형의 나머지 네 꼭짓점을 $\mathrm{C_2}$, $\mathrm{D_2}$, $\mathrm{E_2}$, $\mathrm{F_2}$라 하자. 사각형 $\mathrm{F_1G_1C_1H_1}$의 내부와 정육각형 $\mathrm{A_2B_2C_2D_2E_2F_2}$의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 선분 $\mathrm{A_2C_2}$와 선분 $\mathrm{B_2F_2}$의 교점을 $\mathrm{G_2}$, 선분 $\mathrm{C_2E_2}$와 선분 $\mathrm{D_2F_2}$의 교점을 $\mathrm{H_2}$라 하고, 선분 $\mathrm{B_2F_2}$와 선분 $\mathrm{A_2C_2}$의 중점을 각각 $\mathrm{A_3}$, $\mathrm{B_3}$라 하자. 사각형 $\mathrm{F_2G_2C_2H_2}$의 내부에 선분 $\mathrm{A_3B_3}$를 한 변으로 하는 정육각형을 그리고, 이 정육각형의 나머지 네 꼭짓점을 $\mathrm{C_3}$, $\mathrm{D_3}$, $\mathrm{E_3}$, $\mathrm{F_3}$라 하자. 사각형 $\mathrm{F_2G_2C_2H_2}$의 내부와 정육각형 $\mathrm{A_3B_3C_3D_3E_3F_3}$의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim\limits_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]