2027학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 수학 영역 미적분 28번

좌표평면에서 양수 $t$에 대하여 직선 $y=t$가 두 곡선 $y=e^{2x}-e^{-x}+1,\,\quad y=e^{2x}$와 만나는 점을 각각 $\mathrm{P},\,\mathrm{Q}$라 하자. 점 $\mathrm{P}$를 지나고 $x$축에 수직인 직선이 곡선 $y=e^{2x}$와 만나는 점의 $y$좌표를 $f\left(t\right)$, 점 $\mathrm{Q}$를 지나고 $x$축에 수직인 직선이 곡선 $y=e^{2x}-e^{-x}+1$과 만나는 점의 $y$좌표를 $g\left(t\right)$라 할 때, 두 함수 $f\left(t\right),\,g\left(t\right)$는 구간 $\left(0,\,\infty\right)$에서 미분가능한 함수이다. $\displaystyle\lim_{t\to1}\frac{9f'\left(t\right)-4g'\left(t\right)}{t-1}$의 값은? [4점]