2014학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 수학 영역 A형 18번

직사각형 $ABCD$에서 $\overline{AB}=1$, $\overline{AD}=2$이다. 그림과 같이 직사각형 $ABCD$의 한 대각선에 의하여 만들어지는 두 직각삼각형의 내부에 두 변의 길이의 비가 $1:2$인 두 직사각형을 긴 변이 대각선 위에 놓이면서 두 직각삼각형에 각각 내접하도록 그리고, 새로 그려진 두 직사각형 중 하나에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자. 그림 $R_1$에서 새로 그려진 두 직사각형 중 색칠되어 있지 않은 직사각형에 그림 $R_1$을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 두 직사각형 중 하나에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]