2020학년도 6월 모의평가 수학 영역 가형 29번

좌표평면에서 곡선 $C:y=\sqrt{8-x^2}$ $(2\le x\le2\sqrt2)$ 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 $\overline{\mathrm{OQ}}=2$, $\angle\mathrm{POQ}=\frac\pi4$를 만족시키고 직선 $\mathrm{OP}$의 아랫부분에 있는 점을 $\mathrm{Q}$라 하자.

점 $\mathrm{P}$가 곡선 $C$ 위를 움직일 때, 선분 $\mathrm{OP}$ 위를 움직이는 점 $\mathrm{X}$와 선분 $\mathrm{OQ}$ 위를 움직이는 점 $\mathrm{Y}$에 대하여

를 만족시키는 점 $\mathrm{Z}$가 나타내는 영역을 $D$라 하자.

영역 $D$에 속하는 점 중에서 $y$축과의 거리가 최소인 점을 $\mathrm{R}$라 할 때, 영역 $D$에 속하는 점 $\mathrm{Z}$에 대하여 $\overrightarrow{\mathrm{OR}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OZ}}$의 최댓값과 최솟값의 합이 $a+b\sqrt2$이다. $a+b$의 값을 구하시오. (단, $\mathrm{O}$는 원점이고, $a$와 $b$는 유리수이다.) [4점]