2025학년도 10월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 공통 13번

상수 $a\,\left(a>1\right)$에 대하여 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f\left(x\right)$가

을 만족시킨다. 곡선 $y=f\left(x\right)$와 직선 $y=2x$가 세 점 $\mathrm{O},\,\mathrm{P},\,\mathrm{Q}\,\left(\overline{\mathrm{OP}}<\overline{\mathrm{OQ}}\right)$에서 만난다. 두 점 $\mathrm{R}\left(a,\,0\right),\,\mathrm{S}\left(a+1,\,0\right)$에 대하여 곡선 $y=f\left(x\right)$와 두 선분 $\mathrm{OP},\,\mathrm{OR}$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $A$, 곡선 $y=f\left(x\right)$와 선분 $\mathrm{RS}$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $B$라 하자. $\overline{\mathrm{OQ}}=5\sqrt5$일 때, $A-B$의 값은? (단, $\mathrm{O}$는 원점이다.) [4점]