2010학년도 6월 고1 전국연합학력평가 수학 영역 30번

두 점 $\mathrm A$, $\mathrm B$를 지름의 양 끝으로 하고 반지름의 길이가 $10$인 원 $\mathrm O$ 위를 움직이는 두 점 $\mathrm P$, $\mathrm Q$가 있다. 두 선분 $\mathrm{OP}$, $\mathrm{OQ}$는 각각 선분 $\mathrm{OA}$, $\mathrm{OB}$에서 동시에 출발하여 점 $\mathrm O$를 중심으로 시계 방향으로 회전한다. 각각 일정한 속도로 한 바퀴 도는 데 선분 $\mathrm{OP}$는 $30$초, $\mathrm{OQ}$는 $60$초 걸린다. 원의 내부가 처음에는 흰색이나, 두 선분 $\mathrm{OP}$, $\mathrm{OQ}$가 회전하면서 지나간 부분은 흰색은 검은색으로, 검은색은 흰색으로 바뀐다. [4점]

두 선분 $\mathrm{OP}$, $\mathrm{OQ}$가 출발한 지 $800$초 후의 검은색 부분의 넓이가 $\frac qp\pi$ ($p$와 $q$는 서로소인 자연수)일 때, $p+q$의 값을 구하시오.