2014학년도 10월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 B형 27번

그림과 같이 반지름의 길이가 1인 반원의 호를 6등분하여 양 끝점과 각 분점을 왼쪽부터 차례로

이라 하자. 이 7개의 점 중에서 임의로 선택한 서로 다른 두 점을 각각 $\mathrm P_i$, $\mathrm P_j$ $(0\le i<j\le6)$이라 하고, 선분 $\mathrm P_0\mathrm P_6$의 중점을 $\mathrm O$라 하자. 두 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{OP_i}}$, $\overrightarrow{\mathrm{OP_j}}$의 내적 $\overrightarrow{\mathrm{OP_i}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP_j}}$의 값을 확률변수 $X$라 할 때, $\mathrm E(X)=\dfrac{q\sqrt3}p$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]