2009학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 수리 영역 나형 14번

그림과 같이 길이가 8인 선분 AB가 있다.

선분 AB의 삼등분점 $A_1$, $B_1$을 중심으로 하고 선분 $A_1B_1$을 반지름으로 하는 두 원이 서로 만나는 두 점을 각각 $P_1$, $Q_1$이라고 하자.

선분 $A_1B_1$의 삼등분점 $A_2$, $B_2$를 중심으로 하고 선분 $A_2B_2$를 반지름으로 하는 두 원이 서로 만나는 두 점을 각각 $P_2$, $Q_2$라고 하자.

선분 $A_2B_2$의 삼등분점 $A_3$, $B_3$를 중심으로 하고 선분 $A_3B_3$를 반지름으로 하는 두 원이 서로 만나는 두 점을 각각 $P_3$, $Q_3$라고 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 두 호 $P_nA_nQ_n$, $P_nB_nQ_n$의 길이의 합을 $l_n$이라 할 때, $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}l_n$의 값은? [3점]