2024학년도 6월 고1 전국연합학력평가 수학 영역 29번

그림과 같이 반지름의 길이가 $1$이고 중심각의 크기가 $90^\circ$인 부채꼴 OAB가 있다. 호 AB 위의 점 C에 대하여 선분 BC를 지름으로 하는 원을 그린다. 선분 BC의 중점을 지나고 직선 OB에 평행한 직선이 원과 만나는 점 중 점 B에 가까운 점을 P라 하자. $\overline{BC}=x$일 때, 삼각형 OAP의 넓이를 $S(x)$라 하자. $S(x)$의 최댓값이 $\frac qp$일 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, $0<x<\sqrt2$이고, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]