2024학년도 6월 고1 전국연합학력평가 수학 영역 29번

그림과 같이 반지름의 길이가 $1$이고 중심각의 크기가 $90^\circ$인 부채꼴 $\mathrm{OAB}$가 있다. 호 $\mathrm{AB}$ 위의 점 $\mathrm{C}$에 대하여 선분 $\mathrm{BC}$를 지름으로 하는 원을 그린다. 선분 $\mathrm{BC}$의 중점을 지나고 직선 $\mathrm{OB}$에 평행한 직선이 원과 만나는 점 중 점 $\mathrm{B}$에 가까운 점을 $\mathrm{P}$라 하자. $\overline{\mathrm{BC}}=x$일 때, 삼각형 $\mathrm{OAP}$의 넓이를 $S\left(x\right)$라 하자. $S\left(x\right)$의 최댓값이 $\dfrac qp$일 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, $0<x<\sqrt2$이고, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]