2027학년도 사관학교 1차 선발시험 수학 영역 공통 12번

그림과 같이 실수 $t\;\left(t>1\right)$에 대하여 곡선 $y=\dfrac14x^2$과 직선 $y=tx-1$이 만나는 서로 다른 두 점을 $\mathrm{A},\,\mathrm{B}$라 하자. 두 점 $\mathrm{A},\,\mathrm{B}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{P},\,\mathrm{Q}$라 하고, $y$축에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{R},\,\mathrm{S}$라 하자. 사각형 $\mathrm{APQB}$의 넓이를 $f\left(t\right)$, 사각형 $\mathrm{ABSR}$의 넓이를 $g\left(t\right)$라 할 때, $\displaystyle \lim_{t\to1+}\dfrac{2f\left(t\right)-g\left(t\right)}{\sqrt{\left(t-1\right)^3}}$의 값은? (단, 점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표는 점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표보다 작다.) [4점]