2014학년도 6월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 A형 29번

그림과 같이 두 곡선 $y=2-2^{x-1}$과 $y=\frac{2^x+2^{-x}}2$이 만나는 두 점 $\mathrm P,\;\mathrm Q$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm A(a,\;0),\;\mathrm B(b,\;0)$이라 하자. 곡선 $y=2-2^{x-1}$ 위의 점 $\mathrm C(t,\;2-2^{t-1})$을 지나고 $y$축에 평행한 직선이 곡선 $y=\frac{2^x+2^{-x}}2$과 만나는 점을 $\mathrm D$라 하자. 네 선분 $\mathrm{AC},\;\mathrm{CB},\;\mathrm{BD},\;\mathrm{DA}$로 둘러싸인 도형의 넓이의 최댓값이 $k(b-a)$일 때, $70(k-1)^2$의 값을 구하시오.

(단, $a<t<b$이다.) [4점]