2016학년도 6월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 나형 21번

중심이 $\mathrm O$이고 길이가 $4$인 선분 $\mathrm A_1\mathrm B_1$을 지름으로 하는 반원이 있다. 그림과 같이 반원 위에 $\angle\mathrm C_1\mathrm A_1\mathrm B_1=30^\circ$, $\angle\mathrm D_1\mathrm B_1\mathrm A_1=30^\circ$가 되도록 두 점 $\mathrm C_1$, $\mathrm D_1$을 각각 정하고, 두 선분 $\mathrm A_1\mathrm C_1$, $\mathrm B_1\mathrm D_1$과 두 호 $\mathrm B_1\mathrm C_1$, $\mathrm A_1\mathrm D_1$로 둘러싸인 모양에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 중심이 $\mathrm O$이고 두 선분 $\mathrm A_1\mathrm C_1$, $\mathrm B_1\mathrm D_1$에 접하는 원이 선분 $\mathrm A_1\mathrm B_1$과 만나는 점을 각각 $\mathrm A_2$, $\mathrm B_2$라 하자. 선분 $\mathrm A_2\mathrm B_2$를 지름으로 하는 반원에 그림 $R_1$을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=\dfrac{a\pi+b\sqrt3}9$이다.

$a+b$의 값은? (단, $a$, $b$는 정수이다.) [4점]

$R_1$

$R_2$

$R_3\qquad\cdots$