다음은 3이 아닌 양수 p에 대하여
n=1∑∞(p+3)npn+3pn−1+32pn−2+⋯+3n−1p+3n=3pp2+3p+(다) 가 성립함을 보이는 과정이다.
pn+3pn−1+32pn−2+⋯+3n−1p+3n은
첫째항이 pn, 공비가 (가)인 등비수열의 첫째항부터 제(n+1)항까지의 합이고, p=3이므로
pn+3pn−1+32pn−2+⋯+3n−1p+3n=(나)pn+1−3n+1 이다.
0<p+3p<1, 0<p+33<1이므로
n=1∑∞(p+3)npn+3pn−1+32pn−2+⋯+3n−1p+3n=n=1∑∞((나))×(p+3)npn+1−3n+1=(나)1{pn=1∑∞(p+3p)n−3n=1∑∞(p+33)n}=3pp2+3p+(다) 이다.
위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(p), g(p)라 하고, (다)에 알맞은 수를 k라 할 때, f(k)×g(k)의 값은? [4점]
