2023학년도 대학수학능력시험 수학 영역 확률과 통계 27번

어느 회사에서 생산하는 샴푸 $1$개의 용량은 정규분포 $\mathrm{N}(m,\sigma^2)$을 따른다고 한다. 이 회사에서 생산하는 샴푸 중에서 $16$개를 임의추출하여 얻은 표본평균을 이용하여 구한 $m$에 대한 신뢰도 $95\%$의 신뢰구간이 $746.1\le m\le755.9$이다.

이 회사에서 생산하는 샴푸 중에서 $n$개를 임의추출하여 얻은 표본평균을 이용하여 구하는 $m$에 대한 신뢰도 $99\%$의 신뢰구간이 $a\le m\le b$일 때, $b-a$의 값이 $6$ 이하가 되기 위한 자연수 $n$의 최솟값은? (단, 용량의 단위는 mL이고, $Z$가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, $\mathrm{P}(|Z|\le1.96)=0.95$, $\mathrm{P}(|Z|\le2.58)=0.99$로 계산한다.) [3점]