1부터 n까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 n장의 카드가 있다. 이 카드 중에서 임의로 서로 다른 4장의 카드를 선택할 때, 선택한 카드 4장에 적힌 수 중 가장 큰 수를 확률변수 X라 하자. 다음은 E(X)를 구하는 과정이다. (단, n≥4)
자연수 k(4≤k≤n)에 대하여 확률변수 X의 값이 k일 확률은 1부터 k−1까지의 자연수가 적혀 있는 카드 중에서 서로 다른 3장의 카드와 k가 적혀 있는 카드를 선택하는 경우의 수를 전체 경우의 수로 나누는 것이므로
P(X=k)=nC4(가 ) 이다. 자연수 r(1≤r≤k)에 대하여
kCr=rk×k−1Cr−1 이므로
k×(가 )=4×(나 ) 이다. 그러므로
E(X)=k=4∑n{k×P(X=k)}=nC41k=4∑n(k×(가 ))=nC44k=4∑n(나 ) 이다.
k=4∑n(나 )=n+1C5 이므로
E(X)=(n+1)×(다 ) 이다.
위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(k), g(k)라 하고, (다)에 알맞은 수를 a라 할 때, a×f(6)×g(5)의 값은? [4점]
