2013학년도 3월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 B형 30번

그림과 같이 세 지점 $\mathrm{A,B,C}$를 꼭짓점으로 하고 각 $\mathrm{A}$가 $90^\circ$인 직각삼각형 모양의 도시가 있다. 두 지점 $\mathrm{A,B}$ 사이의 거리는 $6\,\mathrm{km}$이고 두 지점 $\mathrm{A,C}$ 사이의 거리는 $8\,\mathrm{km}$이다. $\mathrm{B}$지점과 $\mathrm{C}$지점에 전파의 수신 반경이 각각 $4\,\mathrm{km},6\,\mathrm{km}$인 기지국이 설치되어 있다. 이 도시 내부에 전파의 수신 반경이 최소인 기지국 하나를 새로 설치하여 전파가 수신되지 않는 지역이 없도록 할 때, 새로 설치하는 기지국의 위치는 $\mathrm{B}$지점에서 $\frac{\sqrt{k}}5\,\mathrm{km}$ 떨어진 지점이다. $k$의 값을 구하시오.

(단, 기지국의 높이는 무시하고 모든 지점과 기지국은 동일 평면 위에 있으며, 전파의 수신 반경은 기지국을 중심으로 전파가 수신되는 원모양 지역의 반지름의 길이를 의미한다.) [4점]