2012학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 13번

그림과 같이 반지름의 길이가 $2\sqrt3$이고 $\angle\mathrm A_1\mathrm O\mathrm B_1=60^\circ$인 부채꼴 $\mathrm A_1\mathrm O\mathrm B_1$이 있다.

세 점 $\mathrm A_1$, $\mathrm O$, $\mathrm B_1$을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\mathrm A_1\mathrm O\mathrm B_1$의 무게중심을 $\mathrm C_1$이라 할 때, 두 선분 $\mathrm A_1\mathrm C_1$, $\mathrm B_1\mathrm C_1$과 호 $\mathrm A_1\mathrm B_1$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_1$이라 하자.

점 $\mathrm O$를 중심으로 하고 점 $\mathrm C_1$을 지나는 원이 두 선분 $\mathrm{OA}_1$, $\mathrm{OB}_1$과 만나는 점을 각각 $\mathrm A_2$, $\mathrm B_2$라 하자. 세 점 $\mathrm A_2$, $\mathrm O$, $\mathrm B_2$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\mathrm A_2\mathrm O\mathrm B_2$의 무게중심을 $\mathrm C_2$라 할 때, 두 선분 $\mathrm A_2\mathrm C_2$, $\mathrm B_2\mathrm C_2$와 호 $\mathrm A_2\mathrm B_2$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_2$라 하자.

점 $\mathrm O$를 중심으로 하고 점 $\mathrm C_2$를 지나는 원이 두 선분 $\mathrm{OA}_2$, $\mathrm{OB}_2$와 만나는 점을 각각 $\mathrm A_3$, $\mathrm B_3$이라 하자. 세 점 $\mathrm A_3$, $\mathrm O$, $\mathrm B_3$을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\mathrm A_3\mathrm O\mathrm B_3$의 무게중심을 $\mathrm C_3$이라 할 때, 두 선분 $\mathrm A_3\mathrm C_3$, $\mathrm B_3\mathrm C_3$과 호 $\mathrm A_3\mathrm B_3$으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_3$이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 도형의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}S_n$의 값은? [4점]