2015학년도 7월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 A형 20번

그림과 같이 한 변의 길이가 $8$인 정삼각형 ABC가 있다. 세 선분 AB, BC, CA의 중점을 각각 D, E, F라 하고 두 정삼각형 BED, ECF를 그린 후 마름모 ADEF에 중심이 O인 원을 내접하도록 그린다. 원과 두 선분 DE, EF의 접점을 각각 P, Q라 할 때, 사각형 OPEQ를 그리고 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 새로 그려진 두 개의 정삼각형의 내부에 그림 $R_1$을 얻은 것과 같은 방법으로 두 개의 사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

그림 $R_2$에서 새로 그려진 네 개의 정삼각형의 내부에 그림 $R_1$을 얻은 것과 같은 방법으로 네 개의 사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 $R_3$이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]