2012학년도 9월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 B형 21번

그림과 같이 $\angle\mathrm A=90\degree$인 직각이등변삼각형 $\mathrm{AB}_0\mathrm C_0$이 있다. 선분 $\mathrm B_0\mathrm C_0$ 위에 꼭짓점 $\mathrm P_1$이 있고, 각 $\mathrm A$를 낀 두 변에 두 꼭짓점 $\mathrm B_1$, $\mathrm C_1$이 있는 직사각형 $\mathrm{AB}_1\mathrm P_1\mathrm C_1$을 $\overline{\mathrm P_1\mathrm B_1}:\overline{\mathrm P_1\mathrm C_1}=1:1$이 되도록 그린다. 선분 $\mathrm B_1\mathrm C_1$ 위에 꼭짓점 $\mathrm P_2$가 있고, 각 $\mathrm A$를 낀 두 변에 두 꼭짓점 $\mathrm B_2$, $\mathrm C_2$가 있는 직사각형 $\mathrm{AB}_2\mathrm P_2\mathrm C_2$를 $\overline{\mathrm P_2\mathrm B_2}:\overline{\mathrm P_2\mathrm C_2}=1:2$가 되도록 그린다. 이와 같은 방법으로 선분 $\mathrm B_{n-1}\mathrm C_{n-1}$ 위에 꼭짓점 $\mathrm P_n$이 있고, 각 $\mathrm A$를 낀 두 변에 두 꼭짓점 $\mathrm B_n$, $\mathrm C_n$이 있는 직사각형 $\mathrm{AB}_n\mathrm P_n\mathrm C_n$을 $\overline{\mathrm P_n\mathrm B_n}:\overline{\mathrm P_n\mathrm C_n}=1:n$이 되도록 그린다.

선분 $\mathrm P_n\mathrm B_n$의 길이를 $a_n$이라 할 때, $\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$의 값은? (단, 점 $\mathrm B_n$은 선분 $\mathrm{AB}_0$ 위에 있다.) [4점]