다항식 H(x)=x3−2x2+3x−1과 실수 t에 대하여 다음은 일차식과 그 제곱으로 나눈 나머지를 구하는 방법을 증명하고, 이를 H(x)에 적용하는 과정이다.
임의의 다항식 F(x)와 두 실수 a, b(a=0)를 생각하자. F(x)=H(x), a=1, b=−t인 경우도 함께 계산한다.
먼저 F(x)를 ax+b로 나누면
F(x)=(ax+b)Q1(x)+c 이다. x=−ab에서는 ax+b=0이므로 c=F(−ab)이다. 특히 위에서 정한 H(x)의 경우
c=H(t)=(가) 이다. 다음으로 F(x)를 (ax+b)2으로 나눈 나머지를 ux+v라 하면
F(x)=(ax+b)2Q2(x)+ux+v 이다. x=−ab를 대입하면 몫이 붙은 항이 없어져
F(−ab)=−abu+v 이다. 이번에는 양변을 미분하면
F′(x)=(ax+b){2aQ2(x)+(ax+b)Q2′(x)}+u 이다. 다시 x=−ab를 대입하면 중괄호 앞의 인수가 0이므로 u=F′(−ab)이다. H(x)의 경우에는
u=H′(t)=(나) 이다. 앞에서 구한 두 식으로부터 v=F(−ab)+abF′(−ab)이다. 따라서 (ax+b)2으로 나눈 나머지 ux+v는
F(−ab)+F′(−ab)(x+ab) 이다. 즉, 이 나머지는 x=−ab에서 F(x)와 값과 미분값이 같은 일차식이다. H(x)의 경우에는
(가)+(나)(x−t) 이므로 t=0일 때 이 나머지에 x=1을 대입한 값은 (다)이다.
위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 g(t), h(t)라 하고 (다)에 알맞은 수를 p라 할 때, g(p)h(p)의 값은?
